◆◆◆大学入試問題研究◆◆◆

x^14+x^7+1の因数分解

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■【問題】■

x^14+x^7+1を因数分解せよ

 

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14107029699?fr=chie_my_notice_supplement

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■解法■

 (x^14+x^7+1)÷(x^2+x+1)=x^12-x^11+x^9ーx^8+x^6-x^4+x^3-x+1
 x^14+x^7+1=(x^2+x+1)×(x^12-x^11+x^9ーx^8+x^6-x^4+x^3-x+1)


  
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★答え★

 x^14+x^7+1=(x^2+x+1)×(x^12-x^11+x^9ーx^8+x^6-x^4+x^3-x+1)

 


 

ポイント この問題の着眼点

  • x^14+x^7+1
    を見た時、
    (x^7-1)(x^14+x^7+1)=x^21-1

    がふと浮かび、

    x^21-1を因数分解するならば、
    (x^7-1)(x^14+x^7+1)

    以外にも
    (x^3-1)(x^18+x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1)

    もありそうだ、

    ところが、
    (x^7-1)=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)
    (x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1)

    つまり、
    x^21-1

    (x^7-1)=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)
    以外に因数
    (x^2+x+1)
    を持つことに気付いた。

    というわけです。

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 副産物としては

x^18+x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1

を因数分解せよという問題が浮かび、その因数に

x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

があることがわかります。